Introducción a la actividad.

Uno de los fenómenos físicos más misteriosos que produce la Teoría de la Relatividad son los agujeros negros. Un agujero negro es una región del espacio, en cuyo interior existe una concentración de masa lo suficientemente grande como para generar un campo gravitatorio, tal que ninguna partícula material, ni siquiera la luz, pueda escapar de él.

El concepto de cuerpo tan denso que ni siquiera la luz pueda escapar de él, fue descrito en un artículo enviado en 1783 a la Royal Society por el físico teórico inglés John Michel. Michel calculó que un cuerpo con un radio 500 veces el radio del Sol y con la misma densidad, es decir, una masa de alrededor de 1.26 x 10⁸ más grande que la del Sol, tendría en su superficie una velocidad de escape igual a la velocidad de la luz, por lo que este objeto sería invisible.

Michel lo calculó a través de la velocidad de escape. La velocidad de escape se calcula por medio de la suma de energía cinética y por el potencial gravitatorio igualado a cero.

 

Los cuatro tipos de agujeros negros más sencillos.

  • Agujero negro de Schwarzschild.

La métrica fue obtenida en 1916 por Karl Schwarzschild. Es un agujero negro sin carga ni momento angular, es decir, no rota. Como se trata de un agujero negro que no rota su singularidad se da para un punto. Matemáticamente es el más sencillo de todos. Fue el primer agujero negro descrito por las ecuaciones de Einstein.

  • Agujero negro de Reissner-Nordström.

Es un agujero negro estático, con simetría esférica y carga eléctrica, definido por dos parámetros; masa y carga. Su solución fue obtenida en 1918.

  • Agujero de Kerr.

Es un agujero negro rotante y sin carga. Definido por dos parámetros, masa y momento angular.

  • Agujero negro de Kerr-Newman.

Es un agujero negro con rotación y carga eléctrica. Definido por tres parámetros; masa, carga y momento angular.

 

Objetivos

  • A partir de la métrica de agujero negro de Kerr-Newman, obtener la singularidad para los cuatro tipos de agujeros negros descritos en el texto. Introducir condiciones como carga = 0, momento angular = 0 … y resolver para r.

 

  • Comparar la singularidad del agujero negro que se obtendrá de la métrica de Schwarzschild con la explicación de John Michel. Para ello hacer en el cálculo de Michel v=c (velocidad de la luz) = 1 y G = 1.

 

Métrica de Kerr-Newman

La singularidad se da para el elemento de la métrica (2,2) es decir para   cuando Δ = 0, eso quiero decir que tenemos una indeterminación (singularidad para la condición de agujero negro) en éste elemento ya que no podemos dividir por cero.

 

Definimos:

= r² – 2Mr + a² + Q²

M = masa de nuestro planeta (agujero negro)

a =  siendo L el momento angular

Q = carga eléctrica

ρ² = r² + a² cosθ

Toda la métrica está escrita en coordenadas esférica, r, θ y ϕ.

 

Criterios de evaluación.

  • Realizar los objetivos.
  • Cometarios al respecto de las soluciones obtenidas.
  • Expresión matemática de las diferentes métricas.
  • Se valorará incluir símbolos nuevos o utilizar los ya definidos con modificaciones para la expresión matricial, con el fin de no escribir todos los términos.

 

Referencias:

  • W. Misner,  K. S. Thorne  y  J. A. Wheeler.  (1970).  Gravtation.  W. H Freeman and Company,  San Franciasco.
  • Michel. (1783).  Philosophical Transactions of the Royal Society of London.  74,  35.

 

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